「長さ1m、温度20℃の金属棒の両端を0℃に固定して放置したとき、
棒の温度がどのように変化するか？」
まずはこの問題を数学的な問題に言い換えます。
まず、熱の移動は棒の中でのみ起こるとし、空気や棒の置かれた机等から熱が伝わったり、逆に逃げたりはしないものとします。
すると、熱の移動は左右方向にしか起こりませんから、棒の中心に数直線xを取り、左端をx=0、右端をx=1とすれば棒の温度はxと時刻tの函数u(t,x)で表すことができます。
熱の移動はよく知られているとおり、[display]\frac{\partial u}{\partial t}=c\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}[/display]という偏微分方程式で表されます。ここでcは棒の材質によって決まる定数です。
また、初期条件は[display]u(0,x)=20[/display]境界条件は[display]u(t,0)=u(t,1)=0[/display]とします。
